01 Grundlagen

Lectures

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Symbole, Terme, Gleichungen

Symbole

Es ist sehr wichtig in der mathematik präzise und eindeutig definierte Symbole zu haben. Dabei haben die Mathematiker sich über einen allgemeinen Konsens geeinigt zB.: wie das Symbol ”+” definiert ist etc.

Präzise und klar zu bezeichnen und abzukürzen, das sind die wichtigsten Funktionen der mathematischen Symbole

GELÄUFIGE MATHEMATISCHE SYMBOLE

Natürliche Zahlen und Null:

$$0,1,2,3,4,5,\dots$$

Negative ganze Zahlen:

$$-1,-2,-3,-4,\dots$$

Rationale Zahlen:

$$\frac{1}{2},\frac{7}{8},\frac{15}{7},-\frac{1}{3},\dots$$

Kreiszahl:

$$\pi (\text{ca. }3.14159265)$$

Variable/Parameter:

$$x,y,z,\dots ,a,b,c,\dots$$

Operationszeichen:

$$+,-,\cdot ,:,/,\sqrt{\cdot },\sqrt[3]{\cdot },{\cdot }^3,{\cdot }^2,\dots$$

Relationszeichen:

$$=,\ne ,<,⩽,>,⩾,\approx ,\in ,\notin ,\subset ,\not\subset ,\supset$$

Gruppierungszeichen:

$$(\dots ),[\dots ],\{\dots \}$$

Zeichen aus der Mengenlehre:

$$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\varnothing ,\{\},\dots$$

Geometrische Zeichen:

$$△,\square ,\angle ,\perp ,\parallel ,\dots$$

Weitere Zeichen:

$$\%{,}^{\circ },\pm ,\infty ,\dots$$

Terme

Under einem Term versteht man eine sinnvolle Aneinanderreihung von mathematischen Symbolen, in der aber kein Relationszeichen vorkommt.

Beispiele von Termen:

$$17+5-3,$$ $$(3x-(6-7x))-(8-2x),$$ $$(a+b{)}^2,$$ $$\frac{\pi }{3}-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2,$$ $$\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}.$$

Wichtig zu wissen ist das bei Terme kein Relationszeichen (=, >, <, etc.) vorkommt.
Daher jede Zahl, Variable, Parameter und eine aneinanderkettung von Termen durch Operationssymbole ist auch ein Term.

Gleichungen

Was ist eine Gleichung?

Intuitiv betrachtet:

Eine Gleichung ist keine starre Behauptung, sondern eine Frage oder ein Rätsel. Sie beschreibt eine Situation, in der zwei unterschiedliche Dinge (Terme) den gleichen Wert haben sollen.

Man kann sie sich wie eine Balkenwaage vorstellen:

• Linke Waagschale: Term 1 (z. B. $2x-5$)
• Rechte Waagschale: Term 2 (z. B. $17-3x$)
• Gleichheitszeichen ($=$): Der Zustand der Balance.

Die Kernfrage:

“Welchen Wert muss ich für den Platzhalter $x$ einsetzen, damit die Waage im Gleichgewicht ist?”

Der Kontext (“Weltausschnitt”):

Gleichungen fallen nicht vom Himmel. Sie modellieren ein echtes Problem.

• Der Term links ($2x-5$) beschreibt einen Sachverhalt (z. B. Kosten Tarif A).
• Der Term rechts ($17-3x$) beschreibt einen anderen Sachverhalt (z. B. Kosten Tarif B).
• Die Gleichung fragt: Wann (under welcher Bedingung) ist beides gleich?

Mathematische Struktur:

$$\underset{\text{Term 1}}{\underbrace{2x-5}}=\underset{\text{Term 2}}{\underbrace{17-3x}}$$

• Grundmenge: Welche Zahlen darf ich überhaupt testen?
• Lösungsmenge: Welche Zahlen machen die Aussage wahr?

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