01 Albach Kapitel 1.1 - 1.6

07 Integral­rechnung 08 Vektor­geometrie Für das Lösen der Bonusaufgabe ist es hilfreich, 00 Anhänge Elektrotechnik Buch aus dem Lehrbuch von Albach durchzugehen.

Material: HS24_NuS1_Kapitel_0_Intro.pdf, HS25_NuS1_Kapitel_1_El_Stat_Feld_1von3.pdf Lernvideo EE4ETH - Vereinfachung Wegintegrale URL Lernvideo EE4ETH - Vereinfachung Oberflächenintegrale Serie_01_MuLö.pdf

Schlüsselkonzepte:

• Linien- und Flächenintegrale (Anhang C, Lernvideos #03 und #04 von EE4ETH)

• elektrostatische Kraft: Richtung und Stärke (Kap. 1.3)

• das Coulomb’sche Gesetz (Kap 1.2)

Lernziele:

• mithilfe des Coulomb’schen Gesetzes Kräfte auf Ladungen berechnen

• den Begriff des “elektrischen Feldes” verstehen und erklären

Info

Ich habe die legendären Vorlesungen von Walter Lewin als Ergänzung in diesem Kurs verwendet.

Kapitel 1.1: Das elektrostatische Feld

Dieses Kapitel führt die grundlegenden Konzepte im Zusammenhang mit stationären elektrischen Ladungen und den von ihnen ausgeübten Kräften ein.

Bohr’sches Atommodell

Um elektrische Ladungen zu verstehen, müssen wir zuerst das Atommodell verstehen:

Wichtige Eigenschaften: - Atomkern: bestehend aus Protonen($e^{+}$) und Neutronen($n$) auch Nukleonen gennant. - Im Verhältnis zur Atomgrösse sehr klein $10^{-14}m$,  während der Durchmesser der Elektronenumlaufbahnen etwa um den Faktor 10 000 grösser ist. - Masse der Protonen und Neutronen ist gleich und sie machen den grössten Teil der Atommasse aus $m_p$ $\approx$ $m_n$ $\approx$ $1.7\ast 10^{-27}kg$ - Elektronenwolke oder im Niels Bohr Model die Elektronenhülle des Atoms ist gegen aussen neutral das heisst die Anzahl Protonen($e^{+}$), positive Ladungsträger, und Elektronen($e^{-}$), negative Ladungsträger, ist gleich. - Entfernt man ein Elektron($e^{-}$) erhält man ein positives Ion (Elektronenmangel) fügt man eins hinzu dan ein negatives Ion (Elektronenüberschuss). - Da der Atomkern gegen aussen neutral ist und die Anzahl Elektronen($e^{-}$) und Protonen($e^{+}$) gleich muss die Ladung der Elektronen($e^{-}$) und Protonen($e^{+}$) entgegengesetzt gleich gross sein. Die kleinste, d.h. nicht weiter unterteilbare Ladungsmenge heißt Elementarladung $e$. Ihr experimentell bestimmter Wert beträgt $e=1,6021892\cdot 10^{-19}As$.

Important

• Ladungen sind stets ein Vielfaches der Elementarladung.
• In einem abgeschlossenen System ist die Summe der Ladungen stets konstant.
• Diese Aussage gilt unabhängig von dem Bewegungszustand des Beobachters.
• Ladungen gleichen Vorzeichens stossen sich gegenseitig ab, Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens ziehen sich gegenseitig an.

Elektrische Ladung ($Q$):

• Existiert als positive (Protonen) und negative (Elektronen).

• Die kleinste unteilbare Einheit ist die Elementarladung $e\approx 1.602\times 10^{-19}$ As.

• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

• Ladung bleibt in isolierten Systemen erhalten.

Kapitel 1.2: Das Coulomb’sche Gesetz:

• Nehmen wir 2 Punktladungen $Q_1$ und $Q_2$ mit einem Abstand von $r$
• Mit der Festlegung eines Einheitsvektors ${\vec{e}}_r$, der gemäß Abb. 1.2 in Richtung der Verbindungslinie von der Punktladung $Q_1$ zur Punktladung $Q_2$ zeigt
• Wenn die Ladungen beide das gleiche Vorzeichen haben stossen sie sich ab darum haben wir den Kraftvektor ${\vec{F}}_2$ (Drittes Newtonsches Gesetz, Kraft gleich Gegenkraft, hätten wir auch einen Kraftvektor ${\vec{F}}_1$ an $Q_1$ in die entgegengesetzte Richtung, aber in der Abbildung 1.2 wurde auf diesen verzichtet)
• Couloumb fand heraus das die Kraft zwischen zwei Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ proportional zum Produkt der beiden Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r zwischen den Ladungen ist. Mit der Proportionalitätskonstante $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$ folgt daraus die Beziehung:

$$F\sim \frac{Q_1{Q}_2}{r^2}\to F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}.$$

• Quantifiziert die Kraft ${\vec{F}}_2$ zwischen zwei Punktladungen $Q_1$ und $Q_2$ im Abstand $r$ mit der Richtung vom Einheitsvektor ${\vec{e}}_r$: ${\vec{F}}_2={\vec{e}}_r\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$
• Der Faktor ${\epsilon }_0$ wird als elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante des Vakuums) bezeichnet. Durch die Festlegung der Basiseinheit 1A (vgl. Kapitel 5.4) ist ${\epsilon }_0$ nicht mehr frei wählbar. Messungen ergeben einen auf vier Stellen gerundeten Wert von ${\epsilon }_0=8,854\cdot 10^{-12}As/Vm$.
• Die Formel ist Vorzeichenempfindlich weil wenn $Q_1$ und $Q_2$ beide negative oder positive sind ist ${\vec{F}}_2$ in der Richting von ${\vec{e}}_r$ ist das Vorzeichen der Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ jedoch unterschiedlich dann ist die Richtung entgegengesetzt von ${\vec{e}}_r$. Was intuitive Sinn macht denn gleiche Ladungen stossen sich ab und ungleiche ziehen sich an.
• Proportionalitätskonstante $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=9\ast 10^9\frac{N{m}^2}{C^2}$
• Die Ladung $Q$ wird in der Einheit $C$ (Couloumb) angegeben wichtig zu wissen $1C$ ist eine sehr sehr grosse Ladung meistens arbeiten wir mit mikro Couloumb ($\mu C$) oder weniger.
  • Die Ladung von einem Proton welches gleich ist wie die Ladung eines Elektrons beträgt $Q_{e^{+}}=Q_{e^{-}}\approx 1.6\ast 10^{-19}C$

Important

• wobei ${\vec{e}}_r$ der Einheitsvektor ist, der von $Q_1$ nach $Q_2$ zeigt, und ${ϵ}_0$ die elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante des Vakuums) ist ($\approx 8.854\times 10^{-12}$ As/Vm).
• Die Kraftgröße ist proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands.

Elektrische Kraft vs. Gravitationskraft

Wir vergleichen die abstoßende elektrische Kraft ($F_{el}$) mit der anziehenden Gravitationskraft ($F_{gr}$) zwischen zwei Protonen im Abstand $d$.

Formeln:

1. Elektrische Kraft (Coulomb-Gesetz):

$F_{el}=\frac{(1.6\cdot 10^{-19}{)}^2\cdot 9\cdot 10^9}{d^2}=\frac{(1.6\cdot 10^{-19}{)}^2}{d^2}\cdot \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$

• $1.6\cdot 10^{-19}$ C: Elementarladung $e$ (Ladung eines Protons)

• $9\cdot 10^9$ N·m²/C²: Proportionalitätskonstante $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$

2. Gravitationskraft (Newtonsches Gravitationsgesetz):

$F_{gr}=\frac{(1.7\cdot 10^{-27}{)}^2\cdot 6.7\cdot 10^{-11}}{d^2}$

• $1.7\cdot 10^{-27}$ kg: Masse eines Protons $m_p$ (Näherung, genauer: $1.67\cdot 10^{-27}$ kg)

• $6.7\cdot 10^{-11}$ N·m²/kg²: Gravitationskonstante $G$

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Schlussfolgerung (Conclusion)

Das Ziel dieses Vergleichs ist zu zeigen, wie sich die Stärken der beiden fundamentalen Kräfte zueinander verhalten.

Um die Kräfte direkt zu vergleichen, bilden wir das Verhältnis $\frac{F_{el}}{F_{gr}}$. Man bemerkt sofort, dass sich der Abstand $d^2$ herauskürzt.

$\frac{F_{el}}{F_{gr}}=\frac{(1.6\cdot 10^{-19}{)}^2\cdot 9\cdot 10^9}{(1.7\cdot 10^{-27}{)}^2\cdot 6.7\cdot 10^{-11}}\approx 1.2\cdot 10^{36}$

Dies führt zu einer wichtigen Einteilung, welche Kraft auf welcher Skala dominiert:

Menschliche Skala: Die elektrischen Kräfte dominieren. Sie halten Atome und Moleküle zusammen und bestimmen damit die gesamte Struktur unserer Welt – von Festkörpern bis hin zu biologischen Systemen (Menschlicher Körper). Kosmische Skala (Planeten, Sterne, Galaxien): Die Gravitation dominiert das Universum im Grossen. Wieso? Obwohl sich $d$ in der Formel herauskürzt haben die meisten Dinge im Universum eine sehr kleine Menge an Ladung/Masse.

Beispiel Erde und Mars: Obwohl beide Himmelskörper eine Ladung von ca. 400.000 Coulomb haben, ist ihre Masse so gigantisch, dass die Gravitationskraft zwischen ihnen $10^{17}$ (17 Grössenordnungen) stärker ist als die elektrische Kraft.

Kapitel 1.3: Die elektrische Feldstärke

• Ein Konzept, das eingeführt wurde, um Kräfte zu erklären, die auf Distanz wirken. Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld im umgebenden Raum. (siehe Coulomb’sches Gesetz) (im Bild ist $Q_{test}$ als q definiert zusätzlich gilt das die Ladung $Q_{+}$ positive oder negative $Q_{-}$ sein kann

• Definiert als die Kraft pro positiver Einheits-Testladung: $\vec{E}=\vec{F}/Q_{test}$ (Ich eliminere so $Q_{test}$ in der Formel).Einheit: V/m.

• Die Richtung des Elektrischen Feldes $\vec{E}$ ist gleich wie die Kraft $\vec{F}$ auf einer positiven Testladung $Q_{test}$. Heisst wenn $Q_{+}$ positive ist dann zeigt der Vektor $\vec{E}$ von $Q_{test}$ weg vice versa.

• Feld einer Punktladung $Q_1$: ${\vec{E}}_1={\vec{e}}_r\frac{Q_1}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$.

Beispiel Feldlinien einer Positiven Ladung $Q_{+}$ Man sieht das Elektrische Feld ist am stärksten in der nähe der Ladung deshalb sind die Pfeile dort am grössten jedoch werden sie immer kleiner weil das Feld im $r^2$ abnimmt. Beispiel Feldlinien einer Positiven Ladung $Q_{-}$

Important

Während sich die als elektrische Feldstärke bezeichnete vektorielle Raumzustandsgröße auf einen speziellen Raumpunkt bezieht, kennzeichnet man mit dem Begriff elektrisches Feld die Gesamtheit der Feldvektoren in allen Raumpunkten.

Kapitel 1.4: Überlagerung von Feldern

• Superpositionsprinzip:

• Das gesamte elektrische Feld (oder die Kraft) von mehreren Ladungen ist die Vektorsumme der Felder (oder Kräfte), die von jeder Ladung einzeln erzeugt werden.

• Die Kraft auf eine Ladung $Q$ auf dem Punkt $P$ in einem elektrischen Feld ist immer $\vec{F}=Q\vec{E}$.

• Ladungsdichten:

• Für kontinuierliche Verteilungen: Linienladung $\lambda$ (As/m), Flächenladung $\sigma$ (As/m²), Volumenladung $\rho$ (As/m³).

• Felddarstellung:

• Feldlinien: Beginnen auf positiven Ladungen, enden auf negativen Ladungen43. Die Tangente gibt die $\vec{E}$-Richtung an. Die Dichte kann die Stärke anzeigen. Können sich nicht kreuzen.

• Äquipotentialflächen: Flächen, auf denen das elektrische Potential konstant ist. $\vec{E}$ steht immer senkrecht auf Äquipotentialflächen. Leiter bilden in der Elektrostatik Äquipotentialbereiche.

• Elektrisches Potential (${\phi }_e$) & Spannung ($U$):

• Das elektrostatische Feld ist konservativ: ${\oint }_C\vec{E}\cdot d\vec{s}=0$.

• Ermöglicht die Definition eines skalaren Potentials ${\phi }_e$ (Einheit: V). Potentialdifferenz (Spannung) hängt mit der Arbeit zusammen, die beim Bewegen einer Ladung verrichtet wird: $W_e=Q({\phi }_e(P_1)-{\phi }_e(P_0))$.

• Spannung zwischen zwei Punkten: $U_{12}={\phi }_e(P_1)-{\phi }_e(P_2)={\int }_{P_2}^{P_1}\vec{E}\cdot d\vec{s}$.

• Elektrische Flussdichte ($\vec{D}$):

• Definiert als $\vec{D}=ϵ\vec{E}={ϵ}_0{ϵ}_r\vec{E}$. Einheit: As/m².

• Gauß’sches Gesetz: Der gesamte elektrische Fluss $\Psi$ aus einer geschlossenen Oberfläche entspricht der eingeschlossenen Ladung $Q$: $\Psi ={\oint }_A\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q$.

• Leiter & Isolatoren in elektrostatischen Feldern:

• Leiter: Enthalten freie Ladungen. In der Elektrostatik ist $\vec{E}=0$ im Inneren. Sie bilden Äquipotentialbereiche58. Überschüssige Ladung befindet sich auf der Oberfläche. $\vec{E}$ steht direkt außen senkrecht zur Oberfläche. Influenz: Ladungsumverteilung auf einem Leiter aufgrund eines externen Feldes. Abschirmung (Faraday’scher Käfig): Ein leitfähiges Gehäuse blockiert externe statische Felder vom Inneren.

• Dielektrika (Isolatoren): Ladungen sind gebunden. Ein externes Feld verursacht Polarisation(Ausrichtung/Erzeugung von elektrischen Dipolen). Beschrieben durch die relative Permittivität ${ϵ}_r$(oder Dielektrizitätskonstante). $\vec{D}={ϵ}_0{ϵ}_r\vec{E}$.

• Kapazität ($C$):

• Maß für die Fähigkeit eines Systems, elektrische Ladung und Energie zu speichern. Definiert als $C=Q/U$. Einheit: Farad (F).

• Plattenkondensator: $C=\frac{ϵA}{d}$.

• Kondensatoren in Parallelschaltung addieren sich: $C_{ges}=\sum C_k$.

• Bei Kondensatoren in Serienschaltung addieren sich die Kehrwerte: $1/C_{ges}=\sum 1/C_k$.

• Speicherung elektrischer Energie:

• In einem Kondensator gespeicherte Energie: $W_e=\frac{1}{2}C{U}^2$.

• Energiedichte im Feld: $w_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D}$.