06 Differentialrechnung

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1. Folgen und Reihen

Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen von Folgen und Reihen als geordnete Listen von Zahlen und deren Summen1111.

1.1. Folgen (Sequences)

• Definition (Intuitiv): Eine Folge ist eine Anordnung von Zahlen (Gliedern), die nach einer bestimmten Regel oder Formel gebildet wird2.

• Definition (Formal): Eine (reelle) Folge $a$ ist eine Funktion $a:{\mathbb{N}}_{>0}\to \mathbb{R}$, die jedem Index $n\in {\mathbb{N}}_{>0}$ eine reelle Zahl $a_n:=a(n)$ zuordnet3.

• Notation: $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}>0}$ bezeichnet die Folge $a_1,a_2,a_3,...$4.

• Darstellungsformen:

  • Explizit: Eine direkte Formel für das $n$-te Glied, z.B. $a_n=4n+3$5555.

  • Rekursiv: Angabe eines Startwerts (z.B. $a_1$) und einer Rekursionsformel, die $a_{n+1}$ mittels $a_n$(oder früheren Gliedern) definiert6.

    • Beispiel (Fakultät): $a_1=1$ und $a_{n+1}=(n+1)\cdot a_n$7. Dies ergibt die explizite Formel $a_n=n!$8.

1.2. Reihen (Series)

• Definition: Eine Reihe entsteht durch die schrittweise Addition der Glieder einer Folge9.

• Partialsumme: Die Reihe ist formal die Folge der Partialsummen $(s_n)$10101010.

• Notation: Die $n$-te Partialsumme ist $s_n:=a_1+a_2+...+a_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i$11.

1.3. Arithmetische Folgen und Reihen

• Arithmetische Folge: Die Differenz $d$ zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant: $d=a_{n+1}-a_n$12.

  • Explizite Formel: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$13.

• Arithmetische Reihe: Die $n$-te Partialsumme ist:

  $s_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

  14

1.4. Geometrische Folgen und Reihen

• Geometrische Folge: Der Quotient $q$ zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant: $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$15.

  • Explizite Formel: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$16.

• Geometrische Reihe: Die $n$-te Partialsumme ist (für $q\ne 1$):

  $s_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

  17

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2. Grenzwerte (Limits)

Grenzwerte beschreiben das Verhalten von Folgen (und später Funktionen), wenn sich der Index $n$ (oder die Variable $x$) einem Wert annähert, oft $\infty$18.

2.1. Konvergenz von Folgen

• Intuitiv: Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert $g$, wenn sich die Glieder der Folge diesem Wert $g$“beliebig nahe” annähern19.

• Formale Definition: Eine Folge $(a_n)$ hat den Grenzwert (Limes) $g$, wenn zu jeder (beliebig kleinen) Zahl $ϵ>0$ ein Index $N$ existiert, sodass für alle $n>N$ gilt: $|a_n-g|[cit{e}_{s}tart]<ϵ$20.

• Notation: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g$ oder $a_n\to g$ für $n\to \infty$21.

• Konvergenz: Eine Folge heißt konvergent, wenn eine solche reelle Zahl $g$ existiert22.

• Beispiele:

  • ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$23.

  • ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1$24.

  • ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$, falls $0<|q|[cit{e}_{s}tart]<1$25252525.

2.2. Grenzwertsätze (Limit Laws)

Wenn $a_n\to g$ und $b_n\to h$ konvergente Folgen sind, gilt 26:

• Summe: ${\lim }_{n\to \infty }(a_n+b_n)=g+h$27.

• Allgemein: Der Limes respektiert alle vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)28282828.

• Vorsicht bei Division: Für $\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{g}{h}$ muss zusätzlich $b_n\ne 0$ und $h\ne 0$gelten29.

• Trick: Bei Brüchen von Polynomen in $n$ wird oft mit der höchsten Potenz des Nenners gekürzt/erweitert30.

  • Beispiel: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2-7n}{22-2n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{3-7/n}{22/n^2-2}=\frac{3-0}{0-2}=-1.5$313131313131313131.

2.3. Grenzwerte von Reihen

• Arithmetische Reihe: Konvergiert nur im trivialen Fall, dass $a_1=0$ und $d=0$32.

• Geometrische Reihe: Konvergiert, falls $|q|[cit{e}_{s}tart]<1$33. Die unendliche Summe ist:

  ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n={\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i=\frac{a_1}{1-q}$

  34

• Beispiel (Zenons Paradox): Achilles holt die Schildkröte ein, weil die unendliche Summe der Vorsprünge $s_0+q{s}_0+q^2{s}_0+...$ eine konvergente geometrische Reihe ist35353535. Die Gesamtstrecke ist endlich: $s_{total}=\frac{s_0}{1-q}$36.

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3. Die Ableitung (The Derivative)

Die Differentialrechnung ist das Werkzeug, um die “Geschwindigkeit” oder momentane Änderungsrate einer Funktion zu bestimmen37373737.

3.1. Konzept: Von der Sekante zur Tangente

• Die zentrale Idee ist, die momentane Änderungsrate (z.B. Momentangeschwindigkeit) zu finden383838.

• Dies wird erreicht, indem man die durchschnittliche Änderungsrate (z.B. Durchschnittsgeschwindigkeit) über ein immer kleiner werdendes Intervall $\Delta x$ betrachtet39393939.

• Geometrisch: Die Steigung der Sekante (Linie durch zwei Punkte $P$ und $Q$) nähert sich der Steigung der Tangente (Linie, die den Graphen an einem Punkt $P$ berührt), wenn der Punkt $Q$ auf $P$“zuwandert”40404040.

3.2. Der Differenzenquotient

• Der Differenzenquotient ist der formale Ausdruck für die durchschnittliche Änderungsrate41414141.

• Er ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x_1,f(x_1))$42.

• Formeln:

  • $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ 43

  • $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ (wobei $h=\Delta x=x_1-x_0$) 44

3.3. Formale Definition der Ableitung

• Die Ableitung (auch Differentialquotient genannt) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn das Intervall gegen Null geht 45.

• Definition:

  $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

  46

• Bedeutung: $f^{\prime }(x_0)$ ist die momentane Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x_0$ bzw. die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0,f(x_0))$47.

• Differenzierbarkeit: Eine Funktion heißt an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert48.

  • Gegenbeispiel: $f(x)=|x|$ ist an $x_0=0$ nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert (-1) und der rechtsseitige Grenzwert (+1) nicht übereinstimmen49494949.

3.4. Die Ableitungsfunktion und höhere Ableitungen

• 1. Ableitung ($f^{\prime }$): Die Funktion $f^{\prime }$, die jeder Stelle $x$ ihre Ableitung $f^{\prime }(x)$ zuordnet, heißt Ableitungsfunktion50505050.

• 2. Ableitung ($f^{\prime \prime }$): Da $f^{\prime }$ selbst eine Funktion ist, kann sie erneut abgeleitet werden. Dies ergibt die 2. Ableitung, $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$51. Notation: $f^{\prime \prime }(x)$ oder $\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$52.

• n-te Ableitung ($f^{(n)}$): Notation: $f^{(n)}$ oder $\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$53535353.

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4. Graphen und Berechnung von Ableitungen

4.1. Die Ableitung skizzieren ($f\leftrightarrow f^{\prime }$)

Der Graph von $f^{\prime }$ kann qualitativ aus dem Graphen von $f$ hergeleitet werden54545454.

• Nullstellen von $f^{\prime }$: Wo $f$ ein (lokales) Minimum oder Maximum hat (horizontale Tangente), hat $f^{\prime }$ eine Nullstelle55555555.

• Vorzeichen von $f^{\prime }$ (Positiv/Negativ):

  • Wo $f$ steigt (monoton wachsend), ist $f^{\prime }$ positiv (über der x-Achse)56565656.

  • Wo $f$ fällt (monoton fallend), ist $f^{\prime }$ negativ (unter der x-Achse)57575757.

• Extrema von $f^{\prime }$:

  • Wo $f$ am steilsten fällt (maximales Gefälle), hat $f^{\prime }$ ein lokales Minimum585858.

  • Wo $f$ am steilsten steigt (maximaler Anstieg), hat $f^{\prime }$ ein lokales Maximum59.

  • Diese Stellen (steilste Steigung/Gefälle bei $f$) sind die Wendepunkte von $f$.

4.2. Die Ableitung berechnen (via Limes)

Um die Ableitungs_funktion_ zu finden, ersetzt man die feste Stelle $x_0$ durch eine Variable $x$60.

• Prozess:

  1. Stelle den Differenzenquotienten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ auf61616161.

  2. Forme den Zähler algebraisch so um, dass $h$ gekürzt werden kann62626262.

  3. Führe den Grenzwertprozess $h\to 0$ durch63636363.

• Beispiel: $f(x)=0.25x^2$

  • $f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{0.25(x+h{)}^2-0.25x^2}{h}$ 6464

  • $={\lim }_{h\to 0}\frac{0.25(x^2+2xh+h^2-x^2)}{h}$ 6565

  • $={\lim }_{h\to 0}\frac{0.25(2xh+h^2)}{h}$ 6666

  • $={\lim }_{h\to 0}0.25(2x+h)$ 6767

  • $=0.25(2x+0)=0.5x$68686868.

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5. Differentiationsregeln

Da die Berechnung über den Limes mühsam ist, verwendet man Standardregeln69696969.

5.1. Grundregeln

1. Konstante Funktion: $(a{)}^{\prime }=0$

   • 70

2. Faktorregel (Homogenität): $(c\cdot g(x){)}^{\prime }=c\cdot g^{\prime }(x)$

   • 717171

3. Summenregel (Additivität): $(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

   • 72727272

• (Diese Regeln bedeuten: Differenzieren ist eine lineare Operation 73).

5.2. Potenz-, Exponential- und Trigonometrische Funktionen

4. Potenzregel (Power Rule): $(x^k{)}^{\prime }=k\cdot x^{k-1}$

   • Dies gilt für $k\in \mathbb{N}$ 74, aber auch für negative, rationale und reelle Exponenten75757575.

   • Beispiele: $(x^2{)}^{\prime }=2x$76. $(x^7{)}^{\prime }=7x^6$77.

5. Exponentialfunktion (Basis $e$): $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

   • Die $e$-Funktion ist ihre eigene Ableitung; ihr Funktionswert ist an jeder Stelle gleich ihrer Steigung78787878.

6. Exponentialfunktion (Allg. Basis): $(a^x{)}^{\prime }=\ln (a)\cdot a^x$

   • 79

7. Trigonometrische Funktionen: (Winkel im Bogenmaß/Radians!) 80

   • $(\sin (x){)}^{\prime }=\cos (x)$ 81

   • $(\cos (x){)}^{\prime }=-\sin (x)$ 82

   • $(\tan (x){)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ 83

   • $(\cot (x){)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^2(x)}$ 84

5.3. Produkt- und Quotientenregel

8. Produktregel: $(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

   • Achtung: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen85858585.

9. Quotientenregel: ${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$

   • 86

5.4. Die Kettenregel (Chain Rule)

Wird für verschachtelte (verkettete) Funktionen $k(x)=g(f(x))$ benötigt87878787.

• $g$ ist die äußere Funktion, $f$ ist die innere Funktion88.

• Regel (“Außen mal Innen”): $k^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$

  • Ableitung der äußeren Funktion (ausgewertet an der inneren Funktion) mal der Ableitung der inneren Funktion89898989.

• Beispiel 1: $k(x)=\sin (x^2)$

  • Äußere: $\sin (u)\to \cos (u)$

  • Innere: $x^2\to 2x$

  • $k^{\prime }(x)=\cos (x^2)\cdot (2x)$90.

• Beispiel 2: $k(x)=e^{-0.5x}$

  • Äußere: $e^u\to e^u$

  • Innere: $-0.5x\to -0.5$

  • $k^{\prime }(x)=e^{-0.5x}\cdot (-0.5)$91.

5.5. Die Umkehrregel und ihre Anwendungen

Wird zur Ableitung von Umkehrfunktionen ($f^{-1}$) verwendet92.

10. Umkehrregel: Wenn $g=f^{-1}$, dann $f^{\prime }(x)=\frac{1}{g^{\prime }(f(x))}$

    • 93

    • Der Beweis folgt aus $g(f(x))=x$ und beidseitigem Ableiten mit der Kettenregel: $g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=1$ 94.

• Anwendungen:

  • Logarithmus: $f(x)=\ln (x)$. Inverse ist $g(x)=e^x$.

    • $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{e^{\ln (x)}}=\frac{1}{x}$95.

    • Satz: $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ und $({\log }_B(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\ln (B)\cdot x}$96.

  • Wurzelfunktion: $f(x)=x^{1/n}$. Inverse ist $g(x)=x^n$.

    • $(x^{1/n}{)}^{\prime }=\frac{1}{n(x^{1/n}{)}^{n-1}}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$97.

  • Arkusfunktionen: $f(x)=\arcsin (x)$. Inverse ist $g(x)=\sin (x)$.

    • $(\arcsin (x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$98989898.

    • Satz: $(\arctan (x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$99.

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6. Anwendungen der Differentialrechnung

Ableitungen dienen als “Diagnoseinstrument” zur Analyse von Funktionen und zur Lösung von Optimierungsproblemen100.

6.1. Graphenanalyse (Kurvendiskussion)

Analyse der Kurvenform einer Funktion $f$ mittels $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ und $f^{\prime \prime \prime }$101.

Eigenschaft von f	Bedingung
Monotonie
Streng monoton wachsend
Streng monoton fallend
Krümmung (Konkavität)
Linksgekrümmt (konkav hoch)
Rechtsgekrümmt (konkav runter)
Extremstellen (Min/Max)
Notwendige Bedingung
Hinreichend: Lokales Minimum
Hinreichend: Lokales Maximum
Wendepunkt (Krümmungswechsel)
Notwendige Bedingung
Hinreichende Bedingung
Sattelpunkt (Terrassenpunkt)
Definition	Wendepunkt mit horizontaler Tangente 111
Hinreichende Bedingung

Checkliste Graphenanalyse

1. Definitionsmenge und Symmetrien bestimmen113.

2. Achsenschnittpunkte: Nullstellen ($f(x)=0$) und $y$-Achsenabschnitt ($f(0)$)114.

3. Ableitungen $f^{\prime },f^{\prime \prime },f^{\prime \prime \prime }$ berechnen115.

4. Extremstellen finden ($f^{\prime }=0$, mit $f^{\prime \prime }$ testen)116.

5. Wendepunkte finden ($f^{\prime \prime }=0$, mit $f^{\prime \prime \prime }$ testen)117.

6. Verhalten im Unendlichen ($x\to \pm \infty$) und an Polstellen (Asymptoten)118.

7. Graph skizzieren119.

6.2. Extremwertprobleme (Optimierung)

Ziel ist es, eine Zielgrösse (z.B. Fläche, Distanz) unter bestimmten Nebenbedingungen (Einschränkungen) zu maximieren oder zu minimieren120120120120120120120120120.

Vorgehensweise

1. Zielgrösse als Funktion aufstellen (oft mit mehreren Variablen), z.B. $D(x,y)=x^2+(y-1{)}^2$121121121.

2. Nebenbedingung(en) als Gleichung(en) formulieren, z.B. $y=x^2$122122122.

3. Nebenbedingungen in die Zielgrösse einsetzen, um eine Funktion in einer Variablen zu erhalten, z.B. $D(x)=x^2+(x^2-1{)}^2=x^4-x^2+1$123123123.

4. Extremstellen dieser Funktion finden:

   a. Ableitung bilden: $D^{\prime }(x)=4x^3-2x$124124124.

   b. Nullstellen der Ableitung finden: $D^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$125.

   c. Art des Extremums mittels 2. Ableitung ($D^{\prime \prime }$) bestimmen (oder über Vorzeichenwechsel von $D^{\prime }$)126.

5. Antwort formulieren (z.B. die minimale Distanz oder die x/y-Werte)127.

Beispiel: Minimaler Abstand (Komet)

• Problem: Finde den Punkt auf der Parabel $y=x^2$, der dem Punkt (Planeten) $P(0,1)$ am nächsten ist128.

• Zielgrösse (quadr. Distanz): $D(x,y)=x^2+(y-1{)}^2$129.

• Nebenbedingung: $y=x^2$130.

• Zielfunktion (in einer Var.): $D(x)=x^2+(x^2-1{)}^2=x^4-x^2+1$131.

• Ableitungen:

  • $D^{\prime }(x)=4x^3-2x$132.

  • $D^{\prime \prime }(x)=12x^2-2$133.

• Analyse:

  • $D^{\prime }(x)=0\Rightarrow x\in \{0,-\frac{\sqrt{2}}{2},+\frac{\sqrt{2}}{2}\}$134.

  • $D^{\prime \prime }(0)=-2<0\Rightarrow$ Lokales Maximum (!)135.

  • $D^{\prime \prime }(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})=4>0\Rightarrow$ (Absolutes) Minimum136.

• Lösung: Die dem Planeten am nächsten gelegenen Punkte sind $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ (und $y=x^2=0.5$)137. Der Scheitelpunkt ($x=0$) ist ein lokales Maximum der Distanz138.