04 Exponential­funktion & Logarithmus­(funktion)

203_skript_exponentialfunktionen.pdf 204_skript_logarithmen.pdf

1. Exponentialfunktionen (Skript 203)

Exponentialfunktionen modellieren Prozesse, bei denen sich eine Größe in gleichen Schritten multiplikativ um denselben Faktor verändert. Dies unterscheidet sie grundlegend von linearen (additive Veränderung) oder Potenzfunktionen (variabler multiplikativer Faktor) 1111.

1.1 Definition

• Eine Funktion der Form $f(x)=c\cdot a^x$ heißt Exponentialfunktion 2.

  • Basis $a$: $a\in \mathbb{R}$, $a>0$, $a\ne 1$.

  • Koeffizient $c$: $c\in \mathbb{R}$, $c\ne 0$.

  • Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

• Wichtiger Unterschied zu Potenzfunktionen: Bei Exponentialfunktionen $a^x$ steht die Variable im Exponenten, bei Potenzfunktionen $x^p$ steht sie in der Basis 3.

1.2 Charakteristische Eigenschaft

• Multiplikative Veränderung: Wenn der Input $x$ um 1 erhöht wird, wird der Output $f(x)$ mit dem Faktor $a$ multipliziert:

  $f(x+1)=c\cdot a^{x+1}=c\cdot a^x\cdot a^1=f(x)\cdot a$

  4444

• Wachstum vs. Zerfall:

  • $a>1$: Der Wert wird bei $x\to x+1$ vergrößert (exponentielles Wachstum).

  • $0<a<1$: Der Wert wird bei $x\to x+1$ verkleinert (exponentieller Zerfall).

1.3 Grapheigenschaften ($f(x)=c\cdot a^x$ mit $c>0$)

• Keine Nullstellen: $a^x$ ist immer positiv für $a>0$, daher ist $c\cdot a^x$ nie Null5.

• Positivität: $f(x)>0$ für alle $x$, wenn $c>0$.

• y-Achsenabschnitt: $f(0)=c\cdot a^0=c\cdot 1=c$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $(0,c)$ 6.

• Monotonie:

  • Streng monoton wachsend für $a>1$7777.

  • Streng monoton fallend für $0<a<1$8888.

• Injektivität: Exponentialfunktionen sind injektiv (da streng monoton).

• Asymptote: Die x-Achse ($y=0$) ist eine horizontale Asymptote.

  • Für $a>1$: $f(x)\to 0$ für $x\to -\infty$.

  • Für $0<a<1$: $f(x)\to 0$ für $x\to +\infty$ 9.

• Symmetrie: Die Graphen von $y=a^x$ und $y=(1/a{)}^x=a^{-x}$ sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse 10101010.

• Einfluss von $c$: Der Faktor $c$ bewirkt eine Streckung/Stauchung des Graphen von $a^x$ in y-Richtung11111111.

1.4 Exponentialfunktionen aufstellen

• Problemstellung: Eine Größe $y$ ver-p-facht sich, wenn $x$ um $q$ erhöht wird. Gesucht ist $f(x)=c\cdot a^x$.

• Ansatz: $f(x+q)=p\cdot f(x)$.

• Herleitung der Basis $a$:

  • $c\cdot a^{x+q}=p\cdot (c\cdot a^x)$

  • $a^x\cdot a^q=p\cdot a^x$

  • $a^q=p⟹a=\sqrt[q]{p}=p^{1/q}$ 12121212.

• Funktionsgleichung: $f(x)=c\cdot (\sqrt[q]{p}{)}^x=c\cdot (p^{1/q}{)}^x=c\cdot p^{x/q}$13.

  • $c$ ist der Startwert $f(0)$.

• Beispiele:

  • Bakterien (Verdopplung alle 20 min): $q=20$, $p=2$. Basis $a=\sqrt[20]{2}$. Funktion $B(t)=B_0\cdot (\sqrt[20]{2}{)}^t=B_0\cdot 2^{t/20}$ ($t$ in Minuten) 141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414.

  • Radioaktiver Zerfall (Halbierung alle 8 Tage): $q=8$, $p=0.5$. Basis $a=\sqrt[8]{0.5}$. Funktion $I(t)=I_0\cdot (\sqrt[8]{0.5}{)}^t=I_0\cdot (0.5{)}^{t/8}$ ($t$ in Tagen) 151515151515151515.

1.5 Die Eulersche Zahl $e$ und die natürliche Exponentialfunktion $\exp (x)$

• Motivation 1: Stetige Verzinsung: Der Wert $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ (Kapital nach 1 Jahr bei 100% Zins, $n$-maliger unterjähriger Zinsgutschrift) nähert sich für $n\to \infty$ einem Grenzwert 16161616.

• Motivation 2: Wachstum proportional zum Bestand: Die Suche nach der Basis $a$, für die die Funktion $f(x)=a^x$ an jeder Stelle $x$ die Steigung $f^{\prime }(x)=f(x)$ hat, führt ebenfalls auf den Grenzwert von $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 171717171717171717.

• Definition: Die Eulersche Zahl $e$ ist dieser Grenzwert:

  $e={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx \mathrm{2.7182818284...}$

  18181818

• Natürliche Exponentialfunktion: $\exp (x):=e^x$.

• Eigenschaften von $e$:

  • Irrational: $e$ kann nicht als Bruch $p/q$ geschrieben werden 19191919.

  • Transzendent: $e$ ist keine Lösung einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten 20202020.

• Wachstumsvergleich: $e^x$ wächst für $x\to \infty$ schneller als jede Potenzfunktion $x^p$ (für festes $p$) 21212121. Formal: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{x^p}=\infty$ 22.

1.6 Die Form $f(x)=c\cdot e^{rx}$

• Äquivalenz: Jede Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x$ kann auch als $f(x)=c\cdot e^{rx}$ geschrieben werden (und umgekehrt), wobei $a=e^r$ bzw. $r=\ln (a)$ 23.

• Vorteil: Der Parameter $r$ repräsentiert die relative Wachstumsrate. Wenn $f^{\prime }(x)$ die momentane Änderungsrate (Steigung) ist, dann gilt für $f(x)=c\cdot e^{rx}$: $f^{\prime }(x)=r\cdot f(x)$ 24242424. $r$ gibt an, welcher Bruchteil des aktuellen Bestands pro Zeiteinheit hinzukommt (bei $r>0$) oder wegfällt (bei $r<0$).

• Anwendungen in Naturwissenschaften: Diese Form wird oft bevorzugt, wenn Wachstums- oder Zerfallsraten im Vordergrund stehen25252525. Beispiele:

  • Radioaktiver Zerfall: $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ ($\lambda$ ist die Zerfallskonstante) 26.

  • Kondensatorentladung: $U(t)=U_0{e}^{-t/(RC)}$ 27.

  • Barometrische Höhenformel: $p(h)=p_0{e}^{-({\rho }_{0}g/p_0)h}$ 28.

  • Strahlungsabsorption: $I(d)=I_0{e}^{-\mu d}$ ($\mu$ ist der Absorptionskoeffizient) 29.

---

2. Logarithmen (Skript 204)

Logarithmen sind die Umkehroperation zur Exponentiation und wurden historisch eingeführt, um Berechnungen zu vereinfachen.

2.1 Motivation: Napier und Briggs

• Idee: Multiplikation/Division durch Addition/Subtraktion ersetzen 30.

• Grundlage: Potenzgesetz $B^x\cdot B^y=B^{x+y}$ 31.

• Logarithmus: Der Exponent $x$, zu dem eine Basis $B$ potenziert werden muss, um eine Zahl $a$ zu erhalten ($a=B^x$)32323232.

• Verfahren (Multiplikation $a\cdot b$):

  1. Finde $x={\log }_{10}(a)$ und $y={\log }_{10}(b)$ (aus Tabellen 33).

  2. Addiere die Logarithmen: $z=x+y$.

  3. Finde die Zahl (Numerus), deren Logarithmus $z$ ist: $10^z$. Das ist das Ergebnis $a\cdot b$ 34343434.

2.2 Definition

• Logarithmus von $a$ zur Basis $B$: $x={\log }_B(a)$ ist diejenige reelle Zahl $x$, für die $a=B^x$ gilt 35353535.

  • Bedingungen: $a>0$ (Argument), $B>0$, $B\ne 1$ (Basis)36363636.

• Spezielle Notationen:

  • Zehnerlogarithmus: $\log (a)$ oder $\lg (a)={\log }_{10}(a)$37373737.

  • Natürlicher Logarithmus: $\ln (a)={\log }_e(a)$38383838.

  • Binärlogarithmus: $\text{lb}(a)={\log }_2(a)$39393939.

• Wichtiger Wert: ${\log }_B(1)=0$ für jede Basis $B$, da $B^0=1$40404040.

2.3 Triviale Identitäten

Diese folgen direkt aus der Definition $a=B^x⟺x={\log }_B(a)$:

• Identität I: $B^{{\log }_B(a)}=a$41414141.

• Identität II: ${\log }_B(B^x)=x$42424242.

2.4 Logarithmusgesetze

Diese sind direkte “Übersetzungen” der Potenzgesetze in die Sprache der Logarithmen (Exponenten). Für $a,b>0$, $B>0,B\ne 1$:

• (L1) Produktregel: ${\log }_B(a\cdot b)={\log }_B(a)+{\log }_B(b)$ 43.

  • Herleitung: Aus $a=B^x,b=B^y⟹a\cdot b=B^{x+y}$. Logarithmieren beider Seiten ergibt ${\log }_B(a\cdot b)=x+y={\log }_B(a)+{\log }_B(b)$ 44.

• (L2) Quotientenregel: ${\log }_B(\frac{a}{b})={\log }_B(a)-{\log }_B(b)$ 45.

  • Herleitung: Aus $a/b=B^x/B^y=B^{x-y}$.

• (L3) Potenzregel: ${\log }_B(a^r)=r\cdot {\log }_B(a)$ (für $r\in \mathbb{R}$) 46.

  • Herleitung: Aus $a=B^x⟹a^r=(B^x{)}^r=B^{x\cdot r}$. Logarithmieren ergibt ${\log }_B(a^r)=x\cdot r=r\cdot {\log }_B(a)$ 47.

• Spezialfälle von L3:

  • ${\log }_B(\frac{1}{a})={\log }_B(a^{-1})=-1\cdot {\log }_B(a)=-{\log }_B(a)$48484848.

  • ${\log }_B(\sqrt[n]{a})={\log }_B(a^{1/n})=\frac{1}{n}\cdot {\log }_B(a)$49494949.

2.5 Lösen von Exponentialgleichungen

Logarithmusgesetz L3 ist der “Nussknacker” 50505050.

• Strategie: Logarithmiere beide Seiten der Gleichung (zu einer beliebigen, passenden Basis). Das Gesetz L3 erlaubt es, die Variable aus dem Exponenten “herunterzuholen”.

• Beispiel 1: $2^x=3$.

  • $\log (2^x)=\log (3)$

  • $x\cdot \log (2)=\log (3)$

  • $x=\frac{\log (3)}{\log (2)}$ 51515151.

• Beispiel 2: $2^{x-1}=0.51^{3x}$.

  • $\text{lb}(2^{x-1})=\text{lb}(0.51^{3x})$ (Basis 2 gewählt)52.

  • $(x-1)\cdot \underset{=1}{\underbrace{\text{lb}(2)}}=3x\cdot \text{lb}(0.51)$ 53.

  • $x-1=3x\cdot \text{lb}(0.51)$.

  • Dies ist eine lineare Gleichung für $x$, die gelöst werden kann 54.

• Anwendung Dopingkontrolle: $C(t)=C_0\cdot (0.5{)}^{t/T_{1/2}}$. Gesucht $t$ für $C(t)=C_{Grenze}$.

  • $C_0\cdot (0.5{)}^{t/T_{1/2}}=C_{Grenze}$

  • $(0.5{)}^{t/T_{1/2}}=C_{Grenze}/C_0$

  • $\log ((0.5{)}^{t/T_{1/2}})=\log (C_{Grenze}/C_0)$

  • $\frac{t}{T_{1/2}}\cdot \log (0.5)=\log (C_{Grenze})-\log (C_0)$

  • $t=T_{1/2}\cdot \frac{\log (C_{Grenze})-\log (C_0)}{\log (0.5)}$ 55.

2.6 Basisumrechnung

Um ${\log }_U(a)$ (unbequeme Basis $U$) mit einer bequemen Basis $B$ (z.B. 10, e, 2) zu berechnen:

• Formel:

  ${\log }_U(a)=\frac{{\log }_B(a)}{{\log }_B(U)}$

  56565656

• Herleitung:

  • Sei $x={\log }_U(a)$. Dann ist $U^x=a$.

  • Logarithmiere beide Seiten zur Basis $B$: ${\log }_B(U^x)={\log }_B(a)$.

  • Wende L3 an: $x\cdot {\log }_B(U)={\log }_B(a)$.

  • Löse nach $x$ auf: $x=\frac{{\log }_B(a)}{{\log }_B(U)}$ 57.

2.7 Graph der Logarithmusfunktion $y={\log }_B(x)$

• Definitionsbereich: $\mathbb{D}={\mathbb{R}}_{>0}$ (nur positive Zahlen haben Logarithmen).

• Nullstelle: Bei $x=1$, da ${\log }_B(1)=0$.

• Vertikale Asymptote: Die y-Achse ($x=0$).

• Monotonie:

  • Streng monoton wachsend für $B>1$.

  • Streng monoton fallend für $0<B<1$.

• Verlauf: Geht durch $(B^{-1},-1)$, $(1,0)$, $(B,1)$, $(B^2,2)$, etc. 58.

• Einfluss der Basis $B$ ($B>1$): Je größer die Basis $B$, desto flacher verläuft der Graph für $x>1$ und desto steiler für $0<x<1$ 59595959.

---

3. Exponential- und Logarithmusfunktionen als Inverse (Skript 204)

3.1 Bijektivität

• Logarithmusfunktionen ${\log }_B:{\mathbb{R}}_{>0}\to \mathbb{R}$ sind bijektiv 60:

  • Injektiv: Da streng monoton 61.

  • Surjektiv: Jede reelle Zahl $y$ wird als Funktionswert angenommen (nämlich für $x=B^y$) 62.

• Exponentialfunktionen ${\exp }_B:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ sind ebenfalls bijektiv.

3.2 Die Umkehrbeziehung

• Die Logarithmusfunktion zur Basis $B$, ${\log }_B(x)$, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis $B$, ${\exp }_B(x)=B^x$, und umgekehrt 63636363.

• Dies drückt sich in den “trivialen Identitäten” aus:

  • $f^{-1}(f(x))=x⟹{\log }_B(B^x)=x$.

  • $f(f^{-1}(y))=y⟹B^{{\log }_B(y)}=y$.

3.3 Graphische Symmetrie

• Die Graphen einer Funktion $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}$ sind spiegelsymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (der Geraden $y=x$) 64.

• Dies gilt insbesondere für $y=B^x$ und $y={\log }_B(x)$65656565. Wenn $(x_0,y_0)$ auf dem Graphen von $B^x$liegt ($y_0=B^{x_0}$), dann liegt $(y_0,x_0)$ auf dem Graphen von ${\log }_B(x)$ (weil $x_0={\log }_B(y_0)$).