03 Trigonometrie

202_skript_trigonometrie.pdf

1. Einführung und Motivation (Skript 202)

1.1 Bedeutung

• Trigonometrische Funktionen sind essentiell zur Beschreibung von Wellen und Schwingungen 1, die in vielen Bereichen auftreten: Akustik (Schall), Optik (Licht), Mechanik (Pendel, Federn), Elektrotechnik (Wechselstrom), Astronomie 222222222.

1.2 Winkelmaße: Gradmaß vs. Bogenmaß (Radiant)

• Gradmaß (${}^{\circ }$): Historisch, teilt den Vollkreis willkürlich in $360^{\circ }$ 3. Unpraktisch für höhere Mathematik4.

• Bogenmaß (Radiant, rad): Definiert den Winkel $\alpha$ über die Länge des Kreisbogens $\text{arc}(\alpha )$ im Einheitskreis (Radius $r=1$) 5. Dies ist das natürliche Maß in der Analysis.

  • Einheit: rad (oft weggelassen).

• Umrechnung: Da $360^{\circ }$ dem Umfang $2\pi r=2\pi$ im Einheitskreis entsprechen6, gilt:

  ${\alpha }_{\text{[rad]}}={\alpha }_{\text{[deg]}}\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}$

  ${\alpha }_{\text{[deg]}}={\alpha }_{\text{[rad]}}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$

  7

• Wichtige Werte:

  • $0^{\circ }=0$ rad

  • $90^{\circ }=\pi /2$ rad

  • $180^{\circ }=\pi$ rad

  • $360^{\circ }=2\pi$ rad

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2. Definition der Trigonometrischen Funktionen (Skript 202)

Die Definition erfolgt am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den Ursprung).

• Ein Punkt $P(x,y)$ bewegt sich auf dem Einheitskreis.

• Der Winkel $\alpha$ wird von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) gemessen8888. Winkel $>2\pi$ oder negative Winkel (im Uhrzeigersinn) sind möglich 9.

Definitionen: Für einen Winkel $\alpha$, sei $P(x,y)$ der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis. Dann ist 10:

• Sinus: $\sin (\alpha ):=y$ (Die y-Koordinate des Punktes P).

• Cosinus: $\cos (\alpha ):=x$ (Die x-Koordinate des Punktes P).

• Tangens: $\tan (\alpha ):=\frac{y}{x}=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$

  • Definitionslücken: $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (weil $x=\cos (\alpha )=0$ wäre).

• Cotangens: $\cot (\alpha ):=\frac{x}{y}=\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}$

  • Definitionslücken: $\alpha \ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (weil $y=\sin (\alpha )=0$ wäre).

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3. Graphen und Eigenschaften (Skript 202)

3.1 Sinus- und Cosinusfunktion

• Graph: Beide Funktionen erzeugen die bekannte Sinuskurve (Sinusoid).

  • $\sin (x)$ startet bei $(0,0)$.

  • $\cos (x)$ startet bei $(0,1)$. Der Cosinusgraph ist gegenüber dem Sinusgraphen um $\pi /2$ nach links verschoben ($\cos (\alpha )=\sin (\alpha +\pi /2)$).

• Wertebereich: $[-1,1]$ für beide11.

• Periodizität: Beide sind periodisch mit der **Periode $P=2\pi$**12. D.h. $\sin (\alpha +2\pi )=\sin (\alpha )$ und $\cos (\alpha +2\pi )=\cos (\alpha )$.

• Verhalten für kleine Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß):

  • $\sin (\alpha )\approx \alpha$ (aber $\sin (\alpha )<\alpha$ für $\alpha >0$)13.

• Symmetrie:

  • Sinus ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung): $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )$14.

  • Cosinus ist gerade (achsensymmetrisch zur y-Achse): $\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )$15.

3.2 Tangens- und Cotangensfunktion

• Graph (Tangens):

  • Nullstellen bei $k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

  • Vertikale Asymptoten bei $\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$16.

• Wertebereich: $\mathbb{R}$ für beide.

• Periodizität: Beide sind periodisch mit der **Periode $P=\pi$**17. D.h. $\tan (\alpha +\pi )=\tan (\alpha )$ und $\cot (\alpha +\pi )=\cot (\alpha )$.

• Verhalten für kleine Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß):

  • $\tan (\alpha )\approx \alpha$ (aber $\tan (\alpha )>\alpha$ für $\alpha >0$)18.

• Symmetrie:

  • Tangens ist ungerade: $\tan (-\alpha )=-\tan (\alpha )$19.

  • Cotangens ist ungerade: $\cot (-\alpha )=-\cot (\alpha )$20.

3.3 Einige spezielle Funktionswerte

Herleitbar durch elementare Geometrie am Einheitskreis (z.B. für $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$).

Winkel (α)	0∘(0)	30∘(π/6)	45∘(π/4)	60∘(π/3)	90∘(π/2)
$\sin (\alpha )$	0	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	1
$\cos (\alpha )$	1	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	0
$\tan (\alpha )$	0	$\sqrt{3}/3$	1	$\sqrt{3}$	undef.
$\cot (\alpha )$	undef.	$\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}/3$	0

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4. Umkehrfunktionen (Arcus-Funktionen) (Skript 109, 202)

Da die trigonometrischen Funktionen periodisch und somit nicht bijektiv (nicht injektiv) sind 22, muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine eindeutige Umkehrfunktion definieren zu können23.

• Arcussinus ($\arcsin$ oder ${\sin }^{-1}$):

  • Einschränkung von $\sin$ auf $[-\pi /2,\pi /2]$24.

  • $\arcsin :[-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]$.

  • $\arcsin (y)$ ist der eindeutige Winkel $\alpha \in [-\pi /2,\pi /2]$, für den $\sin (\alpha )=y$ gilt25.

• Arcuscosinus ($\arccos$ oder ${\cos }^{-1}$):

  • Einschränkung von $\cos$ auf $[0,\pi ]$26.

  • $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$.

  • $\arccos (x)$ ist der eindeutige Winkel $\alpha \in [0,\pi ]$, für den $\cos (\alpha )=x$ gilt27.

• Arcustangens ($\arctan$ oder ${\tan }^{-1}$):

  • Einschränkung von $\tan$ auf $]-\pi /2,\pi /2[$.

  • $\arctan :\mathbb{R}\to ]-\pi /2,\pi /2[$.

  • $\arctan (y)$ ist der eindeutige Winkel $\alpha \in ]-\pi /2,\pi /2[$, für den $\tan (\alpha )=y$ gilt29.

4.1 Lösen trigonometrischer Gleichungen (z.B. $\sin (x)=c$)

1. Finde eine Lösung $x_1$: Mit der passenden Arcus-Funktion (z.B. $x_1=\arcsin (c)$) 30. Dies liefert die Lösung im Hauptintervall.

2. Finde ggf. eine zweite Lösung $x_2$ im Basisintervall $[0,2\pi [$: Nutze Symmetrien am Einheitskreis oder Graphen 31.

   • Für $\sin (x)=c$: $x_2=\pi -x_1$.

   • Für $\cos (x)=c$: $x_2=2\pi -x_1$ (oder $-\alpha$).

   • Für $\tan (x)=c$: Keine zweite Lösung im Intervall der Länge $\pi$.

3. Addiere alle Vielfachen der Periode: Um alle Lösungen zu erhalten, addiere $k\cdot P$ (wobei $P$ die Periode ist) zu den Basislösungen 32.

   • Für $\sin (x)=c$: $L=\{x_1+2k\pi ,x_2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ 33.

   • Für $\cos (x)=c$: $L=\{\pm x_1+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

   • Für $\tan (x)=c$: $L=\{x_1+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

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5. Fundamentale Beziehungen und Formeln (Skript 202)

Viele Beziehungen ergeben sich direkt aus der Definition am Einheitskreis.

5.1 Trigonometrischer Pythagoras

Aus $x^2+y^2=1$ (Gleichung des Einheitskreises) und $x=\cos (\alpha )$, $y=\sin (\alpha )$ folgt:

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

34

Notation: ${\sin }^2(\alpha )$ bedeutet $(\sin (\alpha ){)}^2$.

5.2 Quotient- und Kehrwertbeziehungen

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\text{35}$

$\cot (\alpha )=\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\text{36}$

$\tan (\alpha )\cdot \cot (\alpha )=1\text{37}$

$1+{\tan }^2(\alpha )=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}\text{38}$

$1+{\cot }^2(\alpha )=\frac{1}{{\sin }^2(\alpha )}\text{39}$

5.3 Symmetrien und Verschiebungen

Diese folgen direkt aus der Betrachtung entsprechender Winkel am Einheitskreis:

• Negative Winkel: $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )$, $\cos (-\alpha )=\cos (\alpha )$, $\tan (-\alpha )=-\tan (\alpha )$.

• Phasenverschiebung um $\pi /2$: $\sin (\alpha +\pi /2)=\cos (\alpha )$, $\cos (\alpha +\pi /2)=-\sin (\alpha )$.

• Supplementärwinkel: $\sin (\alpha )=\sin (\pi -\alpha )$, $\cos (\alpha )=-\cos (\pi -\alpha )$.

5.4 Additionstheoreme

Ermöglichen die Berechnung von Funktionswerten für Summen/Differenzen von Winkeln 43.

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )\pm \cos (\alpha )\sin (\beta )$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )\mp \sin (\alpha )\sin (\beta )$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan (\alpha )\pm \tan (\beta )}{1\mp \tan (\alpha )\tan (\beta )}$

44

5.5 Doppel-, Halbe- und Dreifachwinkelformeln

Folgen aus den Additionstheoremen (z.B. $\sin (2\alpha )=\sin (\alpha +\alpha )=\dots$).

• $\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )$ 46

• $\cos (2\alpha )={\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )$ 47

• ${\sin }^2(\frac{\alpha }{2})=\frac{1-\cos (\alpha )}{2}$ 48

• ${\cos }^2(\frac{\alpha }{2})=\frac{1+\cos (\alpha )}{2}$ 49

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6. Trigonometrie im Dreieck (Skript 202)

Die Verbindung zwischen den am Einheitskreis definierten Funktionen und der Geometrie von Dreiecken.

6.1 Rechtwinkliges Dreieck

Sei $\alpha$ einer der spitzen Winkel.

• Hypotenuse (HYP): Seite gegenüber dem rechten Winkel.

• Ankathete (AK): Kathete, die am Winkel $\alpha$ anliegt.

• Gegenkathete (GK): Kathete, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt.

Durch Ähnlichkeit des Dreiecks zum entsprechenden Dreieck im Einheitskreis ergeben sich die fundamentalen Beziehungen 50505050:

$\sin (\alpha )=\frac{\text{GK}}{\text{HYP}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\text{AK}}{\text{HYP}}$

$\tan (\alpha )=\frac{\text{GK}}{\text{AK}}$

$\cot (\alpha )=\frac{\text{AK}}{\text{GK}}$

51

6.2 Allgemeines Dreieck

Für beliebige Dreiecke gelten Sinus- und Cosinussatz. Sie erweitern die Berechnungen auf nicht-rechtwinklige Fälle.

• Sinussatz: Stellt eine Beziehung zwischen Seiten und den Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel her 52525252.

  $\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$

  oder äquivalent:

  $\frac{\sin (\alpha )}{a}=\frac{\sin (\beta )}{b}=\frac{\sin (\gamma )}{c}$

  Anwendung: Bei gegebenen Winkel-Gegenseite-Paaren (WSW, SsW).

• Cosinussatz: Verallgemeinert den Satz des Pythagoras 535353535353535353.

  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )$

  $b^2=a^2+c^2-2ac\cos (\beta )$

  $a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\alpha )$

  54Der Korrekturterm $-2ab\cos (\gamma )$ wird 0, wenn $\gamma =90^{\circ }$ ($\cos (90^{\circ })=0$), womit man den Pythagoras erhält 55.

  Anwendung: Bei gegebenen drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS) 56.

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7. Harmonische Schwingungen (Skript 202)

Modellierung realer Schwingungsprozesse durch Modifikation der Basis-Sinus/Cosinus-Funktion.

Allgemeine Form:

$f(t)=A\cdot \sin (\omega t+\phi )$

57

oder alternativ $f(t)=A\cdot \cos (\omega t+\phi )$.

• $A$: Amplitude

  • Maximaler Ausschlag der Schwingung aus der Ruhelage 58.

  • $A$ beeinflusst die Lautstärke eines Tons59.

• $\omega$: Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit)

  • Gibt an, welcher Winkel pro Zeiteinheit im Einheitskreis überstrichen wird 60. $\omega >0$.

  • Beziehung zur Periode $T$: $\omega =\frac{2\pi }{T}$61.

  • Großes $\omega ⟹$ schnelle Schwingung, kleine Periode. $\omega$ beeinflusst die Tonhöhe62.

• $T$: Periode (Schwingungsdauer)

  • Zeit für einen vollständigen Schwingungsdurchlauf 63. $T=\frac{2\pi }{\omega }$64.

• $F$: Frequenz

  • Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit65.

  • $F=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$66666666. Einheit: Hertz (Hz = $1/s$).

• $\phi$: Phasenverschiebung (Nullphasenwinkel)

  • Bestimmt den Startpunkt der Schwingung bei $t=0$ 67.

  • $f(t)=\sin (t+\phi )$ verschiebt den Graphen horizontal.

  • $\phi >0$: Verschiebung nach links 68686868.

  • $\phi <0$: Verschiebung nach rechts69.