Folgen und Reihen

1. Folgen (Sequences)

1.1. Was ist eine Folge?

Rätselfragen wie “Welche Zahl kommt als nächstes?” 3333sind oft Einführungen in das Konzept der Folgen4.

Umgangssprachliche Definition: Eine Folge ist eine Anordnung von Zahlen (genannt Glieder), die nach einer bestimmten Regel oder Formel gebildet wird5. Es gibt ein erstes, zweites, drittes, … Glied6.
Notation: $(a_{n})_{n \in N > 0}$ . Dies beschreibt eine Folge $a$ mit den Gliedern $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$ . Das $n$ -te Glied wird mit $a_{n}$ bezeichnet, wobei $n$ der Index ist9.
Formale Definition: Eine (reelle) Folge $a$ ist eine Funktion $a : N_{> 0} \to R$ 10. Jedem Index $n \in N_{> 0}$ wird eine reelle Zahl $a_{n} := a (n) \in R$ zugeordnet11.

1.2. Folgen als Funktionen

Eine Folge ist eine spezielle Funktion12.

Der Definitionsbereich (Input) einer Funktion $f (x)$ ist oft $R$ , während der Definitionsbereich einer Folge $a_{n}$ nur die natürlichen Zahlen $N_{> 0}$ (also 1, 2, 3, …) sind13.
Der Graph einer Folge besteht daher nur aus einzelnen Punkten14. Diese Punkte liegen auf dem Graphen der entsprechenden reellen Funktion15. Man kann sagen, die Folge “tastet” die Funktion ab16.

Beispiele:

Lineare Funktion (Bsp. g):
- Folge: $a_{n} = 4 n + 3$ 17
- Funktion: $f (x) = 4 x + 3$ 18
Exponentialfunktion (Bsp. f):
- Folge: $a_{n} = 2^{n - 1}$ (oder $a_{n} = 0.5 \cdot 2^{n}$ ) 191919
- Funktion: $f (x) = 0.5 \cdot 2^{x}$ 20
- Dieses Beispiel ist bekannt durch die Schachbrett-Sage (Reiskörner auf einem Schachbrett), die das enorme Wachstum von Exponentialfunktionen demonstriert21212121.

1.3. Angabe von Folgen

Es gibt verschiedene Arten, eine Folge zu definieren:

1.3.1. Explizite Angabe

Man gibt eine direkte Formel für das $n$ -te Glied an: $a_{n} = Formel in n$ 22.

Beispiele:
- $a_{n} = 2^{n - 1}$ 23
- $a_{n} = 4 n + 3$ 24
- $a_{n} = {1 \frac{n}{n + 1} falls n ungerade falls n gerade$ 25

1.3.2. Rekursive Angabe

Man gibt an, wie man von einem Glied zum nächsten kommt26.

Dies erfordert:
1. Einen Anfangswert (z.B. $a_{1}$ )27.
2. Eine Rekursionsformel, die $a_{n + 1}$ mittels $a_{n}$ (oder vorherigen Gliedern) ausdrückt28.
Der Name “rekursiv” kommt vom lateinischen “recurrere” (zurückrennen), da man z.B. für $a_{999}$ auf $a_{998}$ zurückgreifen muss, und so weiter, bis zum Anfang $a_{1}$ 29292929.

Beispiele für Rekursion:

Fakultät (n!):
- Rekursiv: $a_{1} = 1$ und $a_{n + 1} = (n + 1) \cdot a_{n}$ für $n \geq 1$ 30.
- Die ersten Glieder sind $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 2 \cdot 1$ , $a_{3} = 3 \cdot 2 \cdot 1$ 31.
- Explizit: $a_{n} = n!$ 32.
“Hopse”-Spiel:
- Sei $H_{n}$ die Anzahl der Möglichkeiten, in $n$ Hüpfern ein Ziel zu erreichen33.
- Rekursiv: $H_{n} = 0$ für gerades $n$ 34343434. $H_{1} = 1$ 35. $H_{n} = 2 \cdot H_{n - 2}$ für ungerades $n \geq 3$ 36363636.
- Explizit: $H_{n} = 0$ (gerade) 37, $H_{n} = 2^{(n - 1) /2}$ (ungerade)38383838.
Lucas-Lehmer-Test:
- Wird verwendet, um zu testen, ob Zahlen der Form $M_{p} = 2^{p} - 1$ (Mersenne-Zahlen) prim sind, wobei $p$ prim ist39393939.
- Satz: $2^{p} - 1$ ist prim $\Leftrightarrow (2^{p} - 1) ∣ [c i t e_{s} t a r t] S_{p - 1}$ 40.
- Die Folge $(S_{n})$ ist rekursiv definiert durch: $S_{1} = 4$ und $S_{n + 1} = S_{n}^{2} - 2$ 41.

2. Reihen (Series)

2.1. Was ist eine Reihe?

Eine Reihe entsteht, wenn man die Glieder einer Folge schrittweise aufaddiert42.

Beispiel:
- Folge $(a_{n})$ : $1, 3, 5, 7, ...$ 43
- Zugehörige Reihe $(s_{n})$ :
  - $s_{1} = 1$ 44
  - $s_{2} = 1 + 3 = 4$ 45
  - $s_{3} = 1 + 3 + 5 = 9$ 46
  - $s_{4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$ 47

2.2. Formale Definition

Sei $(a_{n})_{n \in N_{> 0}}$ eine beliebige Folge4848.

Die zugehörige Reihe ist die Folge der Partialsummen $(s_{n})$ .
Die $n$ -te Partialsumme $s_{n}$ ist definiert als:

$s_{n} := a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

50

3. Spezielle Folgen und Reihen

3.1. Arithmetische Folgen und Reihen

Definition (Folge): Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz $d$ zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist515151.

$d = a_{n + 1} - a_{n} = konstant$

52
Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarn: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ 53535353.
Explizite Formel (Folge):

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

54545454
Formel (Reihe / $n$ -te Partialsumme):

$s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$

55555555
Beispiel (Satz von Green-Tao): Die Folge der Primzahlen enthält beliebig lange arithmetische Teilfolgen56. Zum Beispiel (Länge 3, $d = 2$ ): 3, 5, 757. Die längste bekannte solche Folge besteht aus 26 Primzahlen58.

3.2. Geometrische Folgen und Reihen

Definition (Folge): Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient $q$ zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist59595959.

$q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = konstant$

60
Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn: $a_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ 61.
Explizite Formel (Folge):

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$

62626262
Formel (Reihe / $n$ -te Partialsumme): (für $q \neq = 1$ )

$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$

636363636363636363
Beispiele:
- Witwen-Testament: Eine Witwe erhält im ersten Jahr 1 Goldstück, in jedem folgenden Jahr verdoppelt sich die Summe ( $a_{1} = 1, q = 2$ )64646464. Die Gesamtsumme nach 69 Jahren wäre $s_{69} = 2^{69} - 1$ Goldstücke, eine unbezahlbare Summe65.
- Lichtdurchlässigkeit: Ein Lichtstrahl verliert beim Durchgang durch eine Glasplatte 12% seiner Stärke66. Der Quotient ist $q = 0.88$ 67. Die Lichtstärke nach $n$ Platten ist $L_{n} = L_{0} \cdot 0.8 8^{n}$ 68. (Beachte: Exponent ist $n$ , nicht $n - 1$ , da $L_{0}$ der Startwert ist) 69.

4. Grenzwertüberlegungen

Das Dokument schließt mit einem Ausblick auf Grenzwerte.

Beispiel: Ein Quadrat mit Fläche 1 wird schrittweise zur Hälfte gefüllt70.
- Die Folge der hinzugefügten Flächen ist geometrisch: $(g_{n})$ mit $g_{1} = 0.5$ und $q = 0.5$ 71.
- Die $n$ -te Hinzufügung ist $g_{n} = 0. 5^{n}$ 72.
- Die Gesamtfläche nach $n$ Schritten ist die Partialsumme $s_{n} = 0.5 \cdot \frac{1 - 0. 5 ^{n}}{1 - 0.5} = 1 - 0. 5^{n}$ 73.
Erkenntnis:
- Diese Partialsumme $s_{n}$ ist immer kleiner als 174.
- Wenn $n$ jedoch immer größer wird, strebt $s_{n}$ gegen 17575.
- Umgangssprachlich: Addiert man unendlich viele Glieder dieser Folge auf, erhält man exakt 176767676.
- $\sum_{i = 1}^{\infty} 0. 5^{i} = 0.5 + 0. 5^{2} + 0. 5^{3} + ... = 1$
  
  77
Dies leitet über zum Thema der Grenzwerte78.

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